Famille, enfants et probabilité

On suppose que

dans une famille les enfants naissent avec la même probabilité 0,5 d'être une fille ou d'être un garçon,
quel que soit le rang de la naissance, le sexe de l'enfant à naître ne dépend pas des autres naissances,
il n'y a pas de naissances multiples (jumeaux, triplés),
le nombre de naissances est fixé, la famille aura, par exemple, trois enfants.

Simulation possible : lancez n fois de suite une pièce de monnaie et convenez que "Pile" et "Face" correspondent à "Fille" et "Garçon".

L'application vous permet de déterminer les probabilités de certains événements comme par exemple

1. Dans une famille de 4 enfants trois au moins sont des filles. [->]
2. Dans une famille de 3 enfants, l'un des enfants au moins est un garçon. [->]
3. Dans une famille de 4 enfants, il y a au moins un enfant de chaque sexe. [->]
4. Dans une famille de 5 enfants, le nombre de filles est supérieur à celui des garçons. [->]
5. Dans une famille de 4 enfants, le premier et le deuxième enfants sont des filles. [->]
6. Dans une famille de 4 enfants, le premier enfant ou le deuxième enfant sont des filles. [->]
7. Dans une famille de 4 enfants, le premier enfant et le deuxième enfants sont du même sexe. [->]
8. Dans une famille de 4 enfants, deux enfants consécutifs sont des filles. [->]
9. Dans une famille de 4 enfants, si le premier enfant est une fille, alors il y a deux filles au moins. [->]

Probabilité d'un événement

Nombre d'enfants

((filles >= 2 ) et (garçons >= 1)) ou (filles==enfants)

Sauf si vous choisissez des données extravagantes (nombres trop grands), les résultats sous la forme d'une fraction ou de sa fraction simplifiée F devraient être exacts.
Le résultat sous la forme décimale 0.nnn... est toujours faux sauf dans les rares cas où F est égale à une fraction décimale de dénominateur suffisamment petit ! (Lorsque le dénominateur de F est le produit uniquement de un ou plusieurs facteurs égaux à 2 ou à 5).
Par exemple : 11/15 = 0.7333333333333333 (valeur approchée) et 7/8 = 0.875 (valeur exacte).

L'application vous permet de déterminer des probabilités conditionnelles qui s'écrivent P(A/B) ou encore P_B(A) et se lisent 'probabilité de A sachant B'.
En voici quelques exemples

1. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que l'un des enfants au moins est une fille. [->]
2. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que deux des enfants au moins sont des garçons. [->]
3. Dans une famille de 5 enfants deux au moins sont des filles sachant que deux des enfants au moins sont des garçons. [->]
4. Dans une famille de 5 enfants il y a autant de filles que de garçons sachant qu'il y au moins deux garçons. [->]
5. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que le premier enfant est une fille. [->]
6. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que le second enfant est une fille. [->]
7. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que le troisième enfant est une fille. [->]
8. Dans une famille de 4 enfants deux au moins sont des filles sachant que le troisième enfant est une fille. [->]
9. Deux au moins des 4 enfants de la famille sont des filles sachant que l'un des enfants est une fille. [->]. Comparer le résultat à ceux des quatre exemples précédents, expliquez ce qui semble être un paradoxe.
10. Deux au moins des 4 enfants sont des filles sachant que le premier enfant est un garçon. [->]
11. Il y a le même nombre de filles que de garçons sachant que le premier des 4 enfants de la famille est une fille. [->]
12. Il y a le même nombre de filles que de garçons sachant que le premier ou le deuxième enfant des 4 enfants est un garçon. [->]

Le nombre n d'enfants de la famille est fixé au préalable (par exemple n=4), les éléments de notre univers U pourront être notés sous la forme de chaînes de n caractères comme "gffg", "ggfg", ... (exemple) représentant les familles possibles. Le nombre d'éléments de U est donc 2ⁿ (2⁴=16 dans l'exemple).
En décidant que la probabilité est la même d'être de sexe masculin ou de sexe féminin et aussi que le sexe d'un enfant qui naît ne dépend pas de celui de ses frères et soeurs, on simplifie l'étude car dans ce cas tous les événements élémentaires ont la même probabilité 1/2n (par exemple P({"gffg"})=P({"ggfg"})=1/16=0.0625). On dit dans ce cas qu'il y a équiprobabilité.

Rien de plus simple que le calcul de la probabilité d'un événement A, il suffit de compter le nombre a de ses éléments et d'écrire P(A) = a/2^n, c'est la formule bien connue : nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
C'est ce que fait l'application ci-dessus, elle énumère toutes les chaînes de "fff...f" à "ggg...g" et pour chacune regarde si elle appartient ou non à A, (c.-à-d. si elle vérifie la relation logique correspondant à A).
Pour l'événement A = (La famille a 4 enfants et le 1er et le 2ème sont des filles). Vous voyez apparaître, en cliquant, la liste des 16 chaînes possibles avec le mot "Vrai" ou le mot "Faux" inscrit à sa droite, selon que la chaîne appartient ou non à A.
P(A) = nombre d'éléments de A / nombre d'éléments de U.

Dans le cas des probabilités conditionnelles "A sachant B", l'application n'affiche que les éléments de B, le mot "Vrai" indique donc les éléments de (A inter B), alors que "Faux" indique les éléments de B qui ne sont pas dans A.[Exemple]

Lorsque P(B) n'est pas nul, la probabilité conditionnelle de A quand B est définie par :
P(A/B) = nombre d'éléments de (A inter B) / nombre d'éléments de B = P(A inter B)/P(B).
Cas particulier : lorsque A est inclus dans B on a A inter B = A et la probabilité est P(A/B) = P(A)/P(B) = nombre d'éléments de A / nombre d'éléments de B . Ce qui revient à changer d'espace de probabilité et de prendre l'équiprobabilité dans l'espace B.
Évidemment la définition suppose que P(B) ne soit pas nul, ce [contre-exemple] suffit pour comprendre ce qu'il se passe lorsque B est vide.

Vous pouvez reprendre les problèmes suivants en modifiant le nombre d'enfants (en prenant par exemple 2 au lieu de 4).

1. Vous frappez à la porte d'un de vos tous nouveaux voisins qui ont quatre enfants. (Vous n'en savez pas plus).
   Une fille d'une douzaine d'années vous ouvre la porte.
   Avant d'en apprendre davantage, pouvez-vous dire la probabilité qu'ont vos voisins d'avoir une deuxième fille ?
2. Vous frappez à la porte d'un de vos tous nouveaux voisins qui vous dit avoir quatre enfants et qui vous présente son aînée.
   Même question.
3. Quelqu'un vous dit avoir rencontré votre nouvelle voisine accompagnée de sa fille Ariane mais que les trois autres enfants n'étaient pas présents. Même question.
4. Quelqu'un vous dit avoir rencontré vos nouveaux voisins et avoir cru comprendre au détour de la conversation que ceux-ci avaient une fille. Même question.

Remarques
• On pourra supposer dans un premier temps, pour simplifier, que la porte est ouverte équiprobablement par l'un ou l'autre des 4 enfants de la famille. Se méfier donc des réponses erronées que l'on pourrait éventuellement trouver sur le web ou ailleurs. Dans un second temps on pourra réfléchir à d'autres règles comme "le plus jeune ouvre la porte", "le plus âgé ...", "un garçon, s'il y en a un, ..." etc. pour en voir les conséquences sur les résultats.
• Les questions diffèrent un peu mais les réponses peuvent être identiques (ou ne pas l'être).
• Pour vous aider à écarter certaines fausses idées, mais pas nécessairement pour vous aider à trouver la réponse la plus courte, précisons que vous avez plus de chance qu'une fille vous ouvre la porte dans le cas d'une famille de trois filles (3/4) que dans le cas d'une famille d'une seule fille (1/4 seulement).

Que penser de l'exemple 9) du premier paragraphe où l'événement était « Si le premier enfant d'une famille de 4 enfants est une fille, alors il y a deux filles au moins. »
Remarque : la proposition logique « Si p, alors q » est logiquement équivalente à « (Non p) ou q ».

Utiliser	Au lieu de
enfants	nombre d'enfants
filles	nombre de filles
garçons	nombre de garçons
e[1], e[2] ...	sexe du 1er, du 2ème enfant ...
e[1]="g"	le premier enfant est un garçon
non( )	négation, contraire
non(filles < garçons)	contraire de (nb. de filles inférieur au nb. de garçons)   c.-à-d.   filles >= garçons

S'inspirer des exemples donnés.


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