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S'arrêter au meilleur gain.
(Un jeu de boîtes)

Il ne s'agit absolument pas du jeu télévisé que vous avez peut-être vu sur une chaîne privée nationale pour lequel les calculs sont très simples.

Règles

Boîtes

Dans n boîtes, sont placées différentes sommes d'argent dont les valeurs sont de 0 euros au minimum et de M euros au maximum.
(Les nombres n et M sont fixés et les sommes ont des valeurs entières).

Choix

Vous pouvez ouvrir les boîtes les unes après les autres, vous vous arrêtez lorsque vous le désirez.
Fermée

Votre gain sera le contenu de la dernière boîte ouverte.

Précisions

On suppose que les sommes sont choisies au hasard entre 0 et M (distribution uniforme), et que les choix ont été réalisés en toute indépendance les uns des autres.

Question

À quel moment s'arrêter pour s'assurer une espérance de gain mamimum ? Quelle est donc ce gain espéré ?

Essais et simulations

Manuellement

Choisissez le nombre de boîtes et le montant maximum

En cliquant sur le bouton [Initialise] pour prendre en compte les valeurs de n et de M, les parties précédentes sont annulées.

Données :
Nombre n de boîtes :
Somme maximum dans les boîtes :
Réinitialiser le jeu réinitialise

Exercez-vous à vous arrêter à temps

En cliquant sur le bouton [Initialise], le jeu est réinitialisé et une partie est lancée, il est donc inutile de cliquer sur le bouton [Nouvelle partie], il ne sert qu'à annuler la partie en cours et en recommencer une autre.

Partie en cours :
Boîte suivante Choisir celle-ci Contenu de la boîte 
Nouvelle partie

Partie précédente :
boîte maximum , choix du joueur , de l'ordinateur
Boîtes

Statistiques sur l'ensemble des parties jouées :
Gains moyen du joueur et de l'ordinateur
Gain maximum moyen nombre de parties

Automatiquement

Stratégie

Vous indiquerez :
le nombre n de boîtes
le contenu maximum M d'une boîte
le nombre p de simulations à effectuer (100 ou 1000 par exemple).
vos critères de choix (voir ci-dessous)
Vous devez indiquer au programme de simulation un moyen de décider s'il doit choisir le contenu de telle boîte ou attendre encore, c'est-à-dire lui communiquer votre stratégie.
En effet il faut décider, après avoir ouvert une boîte, de s'arrêter là ou au contraire de continuer à en ouvrir d'autres. Les choix sont parfois évidents : on a intérêt à continuer losque le contenu est nul et à s'arrêter lorsqu'il est maximum.

Entre ces deux extrêmes, on définira la valeur intermédiaire A telle que
on continue si le contenu est plus petit que A
on s'arrête s'il est supérieur ou égal à A
La valeur d'arrêt A n'est pas nécessairement la même selon que l'on ouvre la 1ère bôîte ou ses suivantes, la stratégie sera donc une liste d'entiers A1, A2, A3, ..., An.

La liste donnant les gains les plus élevés (en moyenne) se détermine aisément par le calcul. Saurez vous trouver cette liste optimale, c'est-à-dire la stratégie la meilleure !

Essais

Indiquez le nombre de simulations (par exemple 100) et juste au-dessous la stratégie (par exemple 80 70 60 50 0) sous la forme d'une liste d'entiers.

Nombre n de boîtes :
Somme maximum M dans les boîtes :
Nombre p de parties à simuler
Stratégie à utiliser
Montant minimum d'arrêt

Exemples

5 boîtes  A 1,  A 2,  A 3,  A 4
10 boîtes  B 1,  B 2,  B 3,  B 4
22 boîtes  C 1,  C 2,  C 3,  C 4

















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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