Somme des puissances n-ièmes des premiers entiers naturels


Description

(fr.sci.maths du 26 Août 2001)

On veut calculer de manière élémentaire 0n+1n+2n+3n+...+Xn (où n est donné).
Résultat sous la forme d'un polynôme de la variable X.


Je calcule S_n(X) qui donne, lorsque X est un naturel, la somme
pour i variant 0 à X des i^n : 0^n+1^n+...+i^n+...+X^n.
Voici un procédé qui permet à partir de S_0(X) = X+1 de calculer
de proche en proche et très simplement les polynômes S_1(X) =
(X^2+X)/2, S_2(X) = (2*X^3+3*X^2+X)/6 ...

Méthode pour passer de S_n(X) à S_n+1(X) : 
 1) multiplier S_n par (son degré) n+1 et intégrer formellement,
 2) ajouter B_n+1 * X, (B_n+1 tel que S_n+1(1)=1 ou S_n+1(-1)=0).
  
Ceci peut être montré de différentes manières mais j'ai essayé de
trouver une démonstration directe élémentaire, courte, sans trop de
calculs.  
-------------------------------------------------
Le polynôme S_0(X) = 1+X donne la somme 0^n+1^n+...+i^n+...+X^n
lorsque n=0 et X naturel, 
S_0(0)=0^0 et pour tout X réel on a X^0 = S_0(X)-S_0(X-1). 

n étant un naturel, je suppose qu'il existe un polynôme S_n(X)
tel que S_n(0)= 0^n  et  X^n = S_n(X) - S_n(X-1).  (a)

J'appelle P_n+1(X) le polynôme obtenu en intégrant formellement
S_n(X) et en multipliant par n+1, on a P_n+1(0) = 0. 
En transformant les deux membres de (a) (intégrer, multiplier par
n+1), on obtient     
     X^(n+1) = P_n+1(X) - P_n+1(X-1) + B_n+1  (b)
où B_n+1 = P_n+1(-1)= 1-P_n+1(1).  
Je définis alors S_n+1 comme étant le polynôme :      
     S_n+1(X) = P_n+1(X) + B_n+1 *X. (c)

S_n+1(0)=P_n+1(0) + B_n+1 *0 = 0.
S_n+1(X)-S_n+1(X-1)=P_n+1(X)+B_n+1 *X -P_n+1(X-1)-B_n+1*(X-1)
                   = P_n+1(X)-P_n+1(X-1)+B_n+1 
                   = X^(n+1).

S_n+1(X) obtenu ainsi est bien un polynôme qui vérifie S_n+1(0)=0
et S_n+1(X)-S_n+1(X-1) = X^(n+1). 
-------------------------------------------------
Dans PARI/GP (décalage de l'indice n, S[1] correspond à S_0):
mx=6;S=vector(mx);S[1]=X+1;P=vector(mx);B=vector(mx);B[1]=1;
for(n=1,mx-1, P[n+1] = (n)*(intformal(S[n],X)); \
              B[n+1]= 1-subst(P[n+1],X,1); \
              S[n+1] = P[n+1]+B[n+1]*X);
for(n=1,mx,print("B_" n-1 " = "B[n]" \tS_" n-1 " = " S[n]));

B_0 = 1         S_0 = X + 1
B_1 = -1/2      S_1 = 1/2*X^2 + 1/2*X
B_2 = 1/6       S_2 = 1/3*X^3 + 1/2*X^2 + 1/6*X
B_3 = 0         S_3 = 1/4*X^4 + 1/2*X^3 + 1/4*X^2
B_4 = -1/30     S_4 = 1/5*X^5 + 1/2*X^4 + 1/3*X^3 - 1/30*X
B_5 = 0         S_5 = 1/6*X^6 + 1/2*X^5 + 5/12*X^4 - 1/12*X^2
 
J-P.


Remarque : 0^0 = 1 
Dans le cas général où a et n sont deux entiers quelconques (avec cependant la 
restriction incontournable de prendre n positif ou nul lorsque a est nul), 
la définition par récurrence de a^n est : a^0=1 et a^{n+1} = a^n * a

En s'appuyant sur cette définition, une présentation naïve et scolaire est 
a^n = 1 * a * a * ... * a  (où a est écrit n fois lorsque n positif).

On obtient ainsi 
...
a^2 = 1 * a * a          (on multiplie 1 par a, deux fois)
a^1 = 1 * a              (on multiplie 1 une seule fois par a)
a^0 = 1                  (on multiplie 0 fois par a, on ne multiplie pas par a)
a^{-1} = 1 * 1/a         (a non null)
a^{-2}= 1 * 1/a * 1/a    (a non null)
...
Pour passer d'une ligne à l'autre, vers le haut ou vers le bas, on multiplie
ou on divise par a.

Retrouver la valeur de 0^n = 1*0*0*...*0 ne pose plus aucun problème :
0^0 = 1, 0^1=1*0 = 0, 0^2 = 1*0*0 = 0 etc.

Liens



  


















Pour un premier contact, [utilisez ce formulaire] ou utilisez l'adresse de messagerie qui y figure. Merci d'indiquer la page précise du site "http//jm.davalan.org/...", cela m'aidera beaucoup. Ne joignez aucun document à votre message.
Jeux-et-Mathématiques n'est pas un site commercial. Aucun des liens placés sur ce site n'est rémunéré, ni non plus aucune des informations données.
Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige éventuellement votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.

J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2014