Suites u(kn) = k u(n), k fixé

Description

Les suites $u(k\,n) = k\, u(n)$ sont définies pour une valeur de $k$ donnée.
$k\in \mathbb{Z}$ est une constante entière supérieure ou égale à $2$. La variable $n\in \mathbb{Z}_+$ est entière positive ou nulle, $u(n)\in \mathbb{Z}$ est entière, négative ou positive.

Si par exemple on a choisi de prendre $k=2$, la suite $u$ devra vérifier $ u(2\,n) = 2\, u(n)$, mais à priori on ne pourra rien dire de $u(3\,n)$ qui généralement ne sera pas égal à $3\,u(n)$. Par contre $u(4\,n)=4\,u(n)$ car $4=2^2$.

Un exemple avec $k=2$ : $u(0)=0$, $u(1)=1$, $u(2)=2$, $u(3)=0$, $u(4)=4$, $u(5)=2$, $u(6)=0$, $u(7)=1$, $u(8)=8$, $u(9)=0$, $u(10)=4$, $u(11)=2$, $u(12)=0$, $u(13)=1$, $u(14)=2$, $u(15)=0$, $u(16)=16$, $u(17)=2$, $u(18)=0$, $u(19)=1 \ldots$

Un autre exemple où l'on a pris $k=3$ : $u(0)=0$, $u(1)=1$, $u(2)=2$, $u(3)=3$, $u(4)=0$, $u(5)=1$, $u(6)=6$, $u(7)=3$, $u(8)=0$, $u(9)=9$, $u(10)=2$, $u(11)=3$, $u(12)=0$, $u(13)=1$, $u(14)=2$, $u(15)=3$, $u(16)=0$, $u(17)=1$, $u(18)=18$, $u(19)=3$, $u(20)=0$, $u(21)=9 \ldots$

Cas particuliers :
Les suites linéaires vérifient $u(k\,n) = k\, u(n)$.
lorsque la suite est linéaire, c'est-à-dire de la forme $u(n)=a\, n$, par linéarité on aura $u(k\,n)=k\,u(n)$ pour toute valeur $k$,.
Mais la réciproque n'est pas vraie, en effet les suites des deux premiers exemples ne sont pas linéaies en $n$.

Propriété : $u(0)=0$.

Propriété : si $n = m\,k^p$ avec $k\not| m$, (c.-à-d. $m$ n'est pas multiple de $k$), alors $u(n)= k^p\,u(m)$.
par exemple, si $k=2$ et $u(k\,n) = k\, u(n)$, alors $u(40)=u(5\times 8)=u(5.2^3) = 2^3\,u(5)=8\,u(5)$.

Essais

Mode d'emploi

Indiquer les valeurs de $k$ (coefficient des homothéties) et la valeur $M$ qui est la limite maximale de l'indice $n$ de la suite.

Les familles prédéfinies de suites sont [Ident] l'identité $n\mapsto u(n)=n$ ; des suites croissantes par paliers [C1], [C2] et [C3] ; une suite telle que $k=2$, $u(4\,p-1)=2$ et $u(4\,p+1)=4\,p-3$ [EA1] ; une suite telle que si $n$ n'est pas multiple de $k$ alors $u(n)=s$ [sol], (il reviendrait au même de placer cette valur de $s$ dans la liste ou dans la formule un peu plus loin ci-dessous) ; une suite pour laquelle $u(n)$ est pris au hasard entre $-h$ et $h$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$ [Hasard].

La [liste] est la liste (cyclique) des valeurs de $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$.

La [Formule] de la variable $n$ est utilisée pour calculer $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$. On peut utiliser les variables $k$ et $M$ dans la formule ainsi que les fonctions mathématiques du javascript.

Calculs


$k$=     $M$=         
Familles prédéfinies
            $s$=    $h$= 

Introduisez la liste des valeurs de u(n) pour $n$ non multiple de $k$ (uniquement).
 


Ou entrez une formule dont la variable est $n$, (ce sera la valeur de $u(n)$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $k$).
 

Suite

Graphique


















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

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