------------------------------------------------------------------------- > J'ai lu avec intérêt votre article sur les probabilités conditionnelles. > > J'ai un petit problème de sémantique dans la façon dont vous posez le >problème : "une famille de 4 enfants a une fille ou plus, quelle est la > probabilité qu'elle ait 2 filles au moins", je l'aurais écris "parmi les > familles de 4 enfants ayant une fille ou plus, quelle est la probabilité > qu'elles aient 2 filles au moins" qui induit bien une probabilité > conditionnelle. > Je ne vois pas où est la différence. Où est le problème ? "une famille de 4 enfants a une fille ou plus" = "parmi les familles de 4 enfants ayant une fille ou plus" Définition (de la probabilité conditionnelle) : Étant donnée la probabilité P sur l'espace de probabilité E, la probabilité conditionnelle de A quand B est P(A/B) = P_B(A)/P(B) = P(A inter B)/P(B) Lorsque A est inclus dans B, comme ici, on a A inter B = A et la probabilité cherchée est P(A/B) = P(A)/P(B) pour simplifier encore, lorsque les ensembles sont finis et qu'il y a équiprobabilité on a P(A)/P(B) = card(A)/card(E) * card(E)/card(B) = card(A)/ card(B) = la probabilité de A dans l'espace B avec équiprobabilité, c'est bien ce qui est utilisé ici. ------------------------------------------------------------------------- > C'est encore plus visible pour les problèmes que vous posez : "Vous > frappez à la porte d'un de vos tous nouveaux voisins qui ont quatre enfants. > (Vous n'en savez pas plus). Une fille d'une douzaine d'année vous ouvre > la porte. Avant d'en apprendre davantage, pouvez-vous dire la probabilité > qu'ont vos voisins d'avoir une deuxième fille ?" > > La prise de connaissance d'un événement (1 des 4 est une fille) change > le problème car les 4 événéments sont indépendants. La vraie réponse à > cette question est "je sais qu'un des 4 enfants est une fille, la > probabilité qu'ils aient une deuxième fille est la probabilié qu'une >famille de 3 enfants ait au moins une fille. La réponse est donc 7/8 > (et non 11/15). > > Est-ce un problème de sémantique ou de compréhension de ma part ? > Lorsque vous écrivez "les 4 événéments sont indépendants" ou lorsque vous écrivez "la probabilité qu'ils aient une deuxième fille est la probabilié qu'une famille de 3 enfants ait au moins une fille" vous ne justifiez pas vos propos, vous n'êtes donc pas fondé à dire que la probabilité est 7/8. D'où la nécessité de bien préciser le problème et de bien définir l'espace de probabilités. C'est avant tout un problème de formulation qui devient ensuite un problème de compréhension. Si on dit "mon premier enfant est une fille, je veux 4 enfants, quelle est la probabilité que j'aie au moins deux filles" alors oui, vous avez raison, la probabilité est 7/8 = 1 - 1/8 (où 1/8 est la probabilité d'avoir 3 garçons parmi trois enfants) Idem si on dit : l'enfant n° k de la famille est une fille ... mais là vous ne savez pas lequel des enfants n° 1, 2, 3 ou 4 vient vous ouvrir ! Pour moi, dans le cas présent je calcule card(A)/card(B), comme expliqué : * l'espace de probabilité devient l'ensemble B des (types de) familles de 4 enfants dont l'un des enfants au moins est une fille. * la probabilité est l'équiprobabilité. Ensemble des cas possibles : les familles ayant au moins une fille (nb de familles différentes 15) Parmi ces familles on regarde celles qui ont deux filles ou plus http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/proba/famille/index.html gggf ; 4 1 3 Faux ggfg ; 4 1 3 Faux ggff ; 4 2 2 Vrai gfgg ; 4 1 3 Faux gfgf ; 4 2 2 Vrai gffg ; 4 2 2 Vrai gfff ; 4 3 1 Vrai fggg ; 4 1 3 Faux fggf ; 4 2 2 Vrai fgfg ; 4 2 2 Vrai fgff ; 4 3 1 Vrai ffgg ; 4 2 2 Vrai ffgf ; 4 3 1 Vrai fffg ; 4 3 1 Vrai ffff ; 4 4 0 Vrai En supposant l'équiprobabilité des familles d'une fille au moins, la probabilité cherchée est nombre de cas favorables 11 ------------------------ = ---------- nombre de cas possibles 15 Il est donc absolument nécessaire de bien définir avant tout l'espace de probabilités et la probabilité. Tant qu'on aura des espaces ou des probabilités différents, on a peu de chances d'aboutir aux mêmes résultats. Il est parfois difficile, comme dans le cas présent, de se mettre d'accord sur la probabilité à utiliser. Remarque : Un autre exemple avec des enfants Si vous saviez qu'un des enfants est (par exemple) un nouveau-né, il faudrait en tenir compte, (le nouveau-né a 1/2 chances d'être une fille et il ne viendra sûrement pas ouvrir la porte) (nouveau-né fille et au moins une autre fille) ou_exclusif (nouveau-né garçon et au moins deux filles parmi 3) 1/2 * 1 + 1/2 * 4/7 = 1/2 + 2/7 = 11/14 Un renseignement qui peut paraître anodin change tout. -------------------------------------------------------------------------