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Nombres de Keith

Exemples en base 10

Une suite à la Fibonacci

a) Choisissez un entier positif n, (par exemple n=231)
b) Écrivez ses k chiffres (pris de la gauche vers la droite, par exemple 2, 3, 1) en les séparant par une virgule.
Les k chiffres seront les premiers termes d'une suite.
c) Pour calculer un terme de la suite, additionnez simplement les k termes précédents. (Par exemple 2+3+1=6, 3+1+6=10, 1+6+10=17 etc.)

Vous pouvez utiliser l'application ci-dessous pour vérifier vos calculs. Pour n >9, lorsque n a deux chiffres ou plus, les termes après le k-ième vont en croissant.
L'application ci-dessous s'arrête dès que le terme trouvé est supérieur au nombre n de départ.

Calculs


Suite de Keith
Entrez le naturel n =               

Suite obtenue : 


Quelques exemples de nombres de Keith

L'entier 742 est un nombre de Keith : on le retrouve dans la suite 7, 4, 2, ..., 742, ...

D'autres nombres de Keith sont 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051 etc.
C'est la suite A007629 de l'On-Line Encyclopedia of Integer Sequences de Sloane.

C'est en 1987 que Michael Keith définit ces nombres. À l'époque les plus grands nombres connus avaient 7 chiffres, actuellement on connaît plusieurs nombres de 27 chiffres. Tous les nombres de Keith jusqu'à 1019 sont connus, vous trouverez quelques indications dans cette page sur la méthode utilisée et tous les détails à la page Determination of all Keith Numbers up to 1019.

Les nombres de Keith sont encore appelés 'Repfigits", (de l'anglais : repetitive Fibonacci-like digit).

Définitions

Suite associée à un entier naturel non nul

On se donne une base de numération b > 1, (on choisit un entier b > 1).
1) Tout entier strictement positif x s'écrit dans la base b sous la forme x = an-1an-2...a2a1a0 et a pour développement dans cette base b :
x=a0 + b a1 + b2 a2+...+bn-1 an-1
Les n coefficients entiers positifs a0,...,an-1 sont inférieurs strictement à b et an-1 n'est pas nul,
2) On fait correspondre à l'entier n la suite dont les n premiers termes sont les 'chiffres' de x :
u(0)=a0, u(1)=a1, u(2)=a2, ..., u(n-1)=an-1

le n+1ième terme est u(n) = an-1 +...+ a2 + a1 + a0 = u(n-1)+...+u(2)+u(1)+u(0)

Les termes suivants sont définis par la même relation de récurrence :
Pour tout m à partir de n, um= um-1+um-2+...+um-n

Il est facile de voir que l'on a pour m assez grand : um+1= 2 um - um-n

Nombre de Keith

Les nombres de Keith du nom de leur inventeur sont encore appelés Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers. Ces nombres sont les entiers K supérieurs à 9 tels que l'un des termes de la suite associée à K est K lui-même.
Cette suite a le numéro A007629 dans l'encyclopédie des suites de N.J. A. Sloane

Extension à d'autres bases

Conversions

L'application ci-dessous vous permet de passer de l'écriture en base b0 d'un entier naturel N à l'écriture en base b1 du même naturel ou vice-versa.
Numération
b0 =    Nb0 =          Nb1 =    b1 =

Nombres de Keith

l'application ci-dessous n'accepte que les bases b de 2 à 36.
Les chiffres utilisables sont 0, 1, ..., 9, a=10, b=11, c, ...,z.

Par exemple en base 16 vous pouvez utiliser les dix chiffres décimaux de 0 à 9 et les lettres a, b, c, d, e, f qui ont pour valeurs 10, 11 ... 15.
Ainsi 3d16 = 3*16 + 13 = 61 car la valeur de d est 13. De même 3da16 = (3*16 + 13)*16 + 10 = 986dix
Autres bases de numération

b =    base de numération jusqu'à 36
N10 =    écriture décimale
Nb =    dans la base b

        

Suite obtenue

Exemples

Tous les nombres de ce paragraphe, sont écrits en base 10.
Ce sont tous des nombres de Keith dans les bases indiquées.
Cliquez sur les nombres pour le vérifier (les résultats s'affichent dans les fenêtres ci-dessus).
En base 2 : 2, 3, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 143, 256, 285, 512, 569, 683, 1024, 1138, 1366, 2048, 2276, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 154203, 262144, 308405, 524288, 616810, 678491, 1048576, 1356981, 1480343, 2097152, etc.
En base 3 : 3, 5, 6, 7, 57, 102, 127, 206, 217, 677, 805, 840, 1486, 1680, 1887, 2090, 2834, 8329, 10145, 12866, 21127, 23002, 50782, 67925, 82685, 96841, 153861, 178852, 357896, etc.
En base 4 : 5, 7, 10, 15, 18, 29, 47, 113, 163, 269, 1150, 1293, 1881, 22173, 44563, 95683, 261955, 1179415, 1295936, etc.
En base 5 : 5, 9, 10, 11, 13, 15, 20, 22, 31, 40, 43, 53, 62, 71, 84, 93, 124, 154, 221, 483, 3044, 18748, 125973, 232085, 1705260, 2091605, 5616236, etc.
En base 6 : 8, 11, 16, 27, 37, 44, 74, 88, 111, 148, 185, 409, 526, 2417, 8720, 12154, 15268, 49322, 61587, 68444, 82833, 98644, 206356, 249549, 327001, 484512, 642437, 692928, 695659, 726975, 964225, 1210087, 2141228, 2282504, etc.
En base 7 : 8, 13, 16, 19, 24, 32, 40, 48, 57, 114, 125, 145, 171, 228, 285, 329, 342, 589, 1969, 2833, 4938, 30318, 43153, 168516, 336774, 375008, 652933, 1068018, etc.
En base 8 : 8, 11, 15, 16, 22, 24, 32, 37, 40, 48, 56, 59, 92, 123, 200, 251, 257, 400, 457, 893, 2761, 4040, 4547, 8392, 9161, 12833, 16784, 21225, 29617, 127126, 238244, 378733, 526117, 587524, 599333, 672549, 745765, 2176234, 2347267, 2593739, 5285583, etc.
En base 9 : 17, 21, 25, 42, 67, 81, 96, 101, 149, 162, 173, 202, 243, 303, 324, 346, 404, 405, 486, 519, 567, 648, 692, 732, 857, 1189, 1464, 2199, 4398, 11644, 18325, 33774, 34453, 37999, 70348, 92664, 141557, 256820, 263412, 326778, 349484, 526824, 535754, 579708, 1461987, 1519308, 1621052, etc.
En base 10 : Voir plus haut.
En base 11 : 13, 21, 26, 31, 39, 45, 52, 65, 83, 90, 262, 529, 545, 1058, 3711, 10439, 18732, 198008, 198758, 251759, 336987, 569063, 673974, 1010961, 1347948, 1684935, 1928153, 2538253, 3157869, etc.
En base 12 : 13, 17, 23, 26, 34, 37, 39, 52, 57, 65, 74, 78, 91, 104, 111, 117, 130, 143, 173, 305, 346, 581, 610, 928, 1162, 1275, 1509, 1754, 2666, 3508, 5262, 7016, 8374, 8485, 8770, 14588, 19259, 33186, 35509, 49916, 95291, 106558, 365491, 460582, 1458520, 1470720, 1723449, 1735649, etc.
En base 13 : 13, 25, 26, 31, 37, 39, 52, 62, 65, 78, 91, 99, 104, 117, 130, 143, 156, 161, 524, 542, 939, 1048, 1369, 1463, 1572, 1939, 1987, 9002, 16671, 18004, 19291, 23182, 25673, 55595, 72180, 224715, 447560, 537951, 643897, etc.
En base 14 : 20, 27, 29, 40, 58, 67, 87, 107, 116, 145, 174, 200, 400, 600, 647, 1294, 1941, 5885, 6923, 11770, 34286, 43329, 45059, 61918, 74541, 254596, etc.
En base 15 : 18, 29, 36, 43, 54, 72, 115, 151, 187, 249, 718, 1208, 3903, 6264, 7806, 13909, 26950, 42176, 91786, 95091, 96604, 98396, 99909, 250404, 441334, 803629, 926049, etc.
En base 16 : 23, 31, 46, 50, 77, 100, 123, 150, 200, 250, 274, 401, 409, 528, 548, 822, 1056, 1096, 1370, 1584, 1644, 1918, 2112, 2640, 3168, 3696, 5250, 5942, 10757, 11192, 11884, 48671, 90165, 102213, 163791, 180330, etc.
On ne sait pas si ces suites sont finies ou infinies.
Pour retrouver ces résultats et essayer aussi d'autres bases, téléchargez le petit programme en C 'keith.c', (il utilisela bibliothèque GMP, sources).
Compilez le en effectuant : cc -O2 -o keith keith.c -lgmp
Lancez par exemple : keith 5 (si vous désirez les nombres de Keith en base 5.
Si vous désirez trouver les nombres de keith à partir d'une certaine valeur minimum, faites par exemple :
                        keith 10 3389041747878384662
                        1       3389041747878384662      is a 10_Keith number  [ 74 ]


Les applications de ce type ne sont pas capables de trouver par elles-mêmes de grands nombres de Keith. Pour aller plus loin et trouver tous les nombres de Keith ayant exactement k chiffres a0,a1,a2, ...,ak-1 dont les valeurs sont positives (supérieure ou égale à 1 pour a0) et inférieures strictement à la base b, on pose le problème sous forme d'équations diophantiennes à résoudre.
Dans la base b=10 pour k=4 chiffres on a les équations :
999 a_0 + 98 a_1 + 8 a_2 - 1 a_3 = 0
998 a_0 + 97 a_1 + 6 a_2 - 3 a_3 = 0
996 a_0 + 94 a_1 + 3 a_2 - 7 a_3 = 0
992 a_0 + 88 a_1 - 4 a_2 - 14 a_3 = 0
985 a_0 + 77 a_1 - 17 a_2 - 28 a_3 = 0
971 a_0 + 56 a_1 - 42 a_2 - 55 a_3 = 0
944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0
892 a_0 - 64 a_1 - 183 a_2 - 207 a_3 = 0
792 a_0 - 216 a_1 - 362 a_2 - 400 a_3 = 0
599 a_0 - 509 a_1 - 707 a_2 - 772 a_3 = 0
227 a_0 - 1074 a_1 - 1372 a_2 - 1489 a_3 = 0
...
dont l'obtention est expliquée plus loin.

On peut voir que plusieurs des premières équations n'ont pas de solutions.
(En effectuant par exemple 985*1 - 17*9 -28*9 >0 on voit que la 5ième équation n'a pas de solution).
La première équation intéressante est 944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0 qui accepte la solution a_0=1, a_1=5, a_2=3, a_3=7.
Obtenir ces équations est simple, en effet la suite a_0, a_1, a_2, a_3, (a_0+a_1+a_2+a_3), ... est une combinaison linéaire des quatre suites
1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4,  8, 15, 29,  56, ...
0, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 6, 12, 23, 44,  85, ...
0, 0, 1, 0, 1, 2, 4, 7, 14, 27, 50,  96, ...
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, ...
En prenant par exemple les dernières valeurs 56, 85, 96, 108 ci-dessus, toutes au même rang 11 :
56 a_0 + 85 a_1 + 96 a_2 + 108 a_3 = 1000 a_0 + 100 a_1 + 10 a_2 + a_3 qui se transforme en
944 a_0 + 15 a_1 - 90 a_2 - 107 a_3 = 0

Le programme C [equations.c"] vous calcule ces équations mais reste limité à des petites valeurs de b et de k.
La commande utilisée pour les résultats ci-dessus était : equations 10 4

Nombre de Keith dans plusieurs bases

Le tableau ci-dessous vous donne pour quelques nombres, les bases pour lesquelles ces nombres sont des nombres de Keith.
Par exemple 13 est un nombre de Keith dans les quatre bases bases 5, 7, 11 et 12.
Attention toutefois, 13 est l'écriture décimale du nombre et celui-ci a des écritures différentes dans les autres bases.
13 = 235 = 167 = 1211 = 1112.
Cliquez sur les liens pour vérifier que 13 est un nombre de Keith dans les bases 5, 7, 11 et 12. (Mais 13 n'est pas un nombre de Keith en base dix)

EntierNombre de
bases
solutions
Bases
312
412
523, 4
613
723, 4
832, 6, 7
915
1024, 5
1135, 6, 8
1345, 7, 11, 12
...
41785322, 498, 517, 2786, 3343
4179699, 196, 523, 965, 1115, 2090
41802915, 1394
418112320, 521, 797, 1392, 1673, 2089, 2091, 2788, 3659, 3860, 4179, 4180
41823120, 644, 837
4183688, 89, 399, 1395, 2092, 3347
...

Records

Nombres naturels qui sont des nombres de Keith dans plus de bases que les nombres de Keith qui lui sont inférieurs.

RecordNombre de
solutions
Bases
3 1 2
5 2 3 4
8 3 2 6 7
13 4 5 7 11 12
29 5 4 14 15 20 26
37 6 6 8 12 13 19 33
123 7 8 16 29 61 62 99 120
233 8 45 76 115 117 156 187 231 232
445 10 18 28 43 87 88 89 149 206 223 390
1165 11 45 76 115 231 232 233 278 389 583 1020 1076
4181 12 320 521 797 1392 1673 2089 2091 2788 3659 3860 4179 4180
20905 13 320 521 1392 2089 3659 3860 4179 4180 4181 4978 6764 6969 10453
29267 14 320 521 1392 1597 2089 2583 3659 3860 4179 4180 4181 5854 14634 19512



Liens

Keith Numbers and Determination of all Keith Numbers up to 1019   Mike Keith's World of Words & Numbers
Repfigit  (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers (or Keith numbers).
Keith-, Borris- and Mari-Numbers   Walter Schneider
Amazing Number Facts   Madras College, St Andrews, Fife, Scotland
















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