Nombres vampires
Définition
Selon Clifford A. Pickover (Pickover, 1994) :
Les nombres vampires sont les entiers naturels produits n=ab de deux facteurs a et b tels que :
a et b sont les deux crocs du nombre vampire n=ab.
Lorsqu'on n'impose pas aux crocs d'avoir le même nombre de chiffres, on a des pseudo-vampires.
Par opposition aux pseudo-vampires, les vampires sont des 'vrais' vampires.
Dans le cas des pseudo-vampires on peut toujours se limiter à deux facteurs sans zéros à droite, en les éliminant tout simplement.
En ajoutant des 0 au plus court des deux facteurs sans zéros à droite, on obtient alors les crocs d'un vrai vampire comme dans l'exemple ci-dessous :
Les nombres vampires sont les entiers naturels produits n=ab de deux facteurs a et b tels que :
a et b ont autant de chiffres l'un que l'autre,
les chiffres de a et de b réunis sont exactement ceux de n,
n n'est pas obtenu en ajoutant des zéros à un plus petit nombre vampire.
a et b sont les deux crocs du nombre vampire n=ab.
Lorsqu'on n'impose pas aux crocs d'avoir le même nombre de chiffres, on a des pseudo-vampires.
Par opposition aux pseudo-vampires, les vampires sont des 'vrais' vampires.
Dans le cas des pseudo-vampires on peut toujours se limiter à deux facteurs sans zéros à droite, en les éliminant tout simplement.
En ajoutant des 0 au plus court des deux facteurs sans zéros à droite, on obtient alors les crocs d'un vrai vampire comme dans l'exemple ci-dessous :
9 x 79110 = 711990 9 x 7911 = 71199 7911 x 9000 = 71199000
Résultats (en base dix)
vamp.tar.gz contient quelques utilitaires
(scripts bash ou Awk) et le programme C qui utilise la bibliothèque gmp de grands entiers. Ce programme permet la recherche de nombres vampires écrits dans différentes bases (de 2 à 36) et d'un nombre pair quelconque de chiffres.
V2
Il n'y a aucun vampire de 2 chiffres.
V4
Les vampires de 4 chiffres sont au nombre de 7, ce sont
15 x 93 = 1395, 21 x 60 = 1260, 21 x 87 = 1827, 27 x 81 = 2187 30 x 51 = 1530, 35 x 41 = 1435, 80 x 86 = 6880
V6
On dénombre 148 vampires de 6 chiffres, l'un d'entre eux est 2 fois vampire :
204 x 615 = 246 x 510 = 125460
V8
Il y a 3228 vampires de 8 chiffres, 13 d'entre eux le sont 2 fois :
2886 x 9300 = 3900 x 6882 = 26839800, 22569480, 12054060, 13002462, 12600324, 61360780, 26373600, 12827650, 26198073, 11930170, 12417993, 23287176, 46847920
et un 14-ième vampire l'est même 3 fois :
1620 x 8073 = 1863 x 7020 = 2070 x 6318 = 13078260
V10
Parmi les 16670 vampires de 10 chiffres, 24 le sont deux fois mais pas plus.
Exemples :
Exemples :
10130 x 99701 = 1009971130 21474 x 57636 = 1237675464 11009 x 99110 = 11990 x 91001 = 1091101990 14150 x 83027 = 14315 x 82070 = 1174832050
Vn>10
Vampires en base dix
Exemples de vampires de différentes longueurs en base dix | ||
---|---|---|
Nb. chif. vampire |
Exemples (un exemple de chaque longueur) |
|
12 | 183758 569204 104595788632 |
|
14 | 4044918 4076682 16489844402076 |
|
16 | 73824690 74058441 5467341448708290 |
|
18 | 636444908 637035557 405438036467593756 |
|
20 | 4178439263 4178503910 17459624798143018330 |
|
22 | 74795169012 74806591035 5595171619674389007420 |
|
24 | 646848714002 646850417336 418414360605448606738672 |
|
26 | 7896593927628 7896605241420 62356284998272608947951760 |
|
28 | 90765870245831 90765884614421 8238444505660604791917728851 |
|
30 | 800690438226776 800690541291530 641105260390749639582068007280 |
|
32 | 7890621146292999 7890621146302254 62261902074399269225108498119746 |
|
34 | 73611455030141441 73611455078461292 5418646315211430195471451403601772 |
|
36 | 878059243705180523 878059243706233814 770988035457038453803589221316804722 |
|
38 | 9427189041572426079 9427189041688233828 88871893226634978941092442178597200412 |
|
40 | 67835106415248801258 67835106415266313929 4601601662369317045751193883845558122682 |
|
42 | 523371065181668818442 523371065181794933279 273917271869460635860141823592538154731318 |
|
44 | 7258356221946085072286 7258356221946096141347 52683735044663526125127502997168782168409242 |
|
46 | 67250037190134522805691 67250037190134547294343 4522567502074478070334021619943993153172506013 |
|
48 | 405679065980694914575179 405679065980694941820132 164575504574969029004696579056819491149809703628 |
|
50 | 9938983827026148292267331 9938983827026148354765188 98783399513887341458063217618892922993086628473228 |
Autres bases de numération
Quelques résultats obtenus par le programme C
qui peut trouver les vampires en toute base de 2 à 36.
Vampires en différentes bases
Exemples de vampires dans diverses bases de numération | ||
---|---|---|
Commentaires | Bases | Exemples |
Système Binaire |
2 |
10110 x 11101 = 1001111110 10111 x 11001 = 1000111111 11001 x 11100 = 1010111100 11001 x 11110 = 1011101110 11010 x 11011 = 1010111110 |
Système Ternaire |
3 |
200000 200011 110002200000 200002 212120 120202202010 222011 222011 221022201121 |
Système Quaternaire |
4 |
113 x 302 = 101332 201 x 210 = 102210 201 x 300 = 120300 |
5 |
100201 444400 100140424400 144221 400303 124404320013 |
|
6 |
101021 553345 100353154125 111101 533423 104153113123 |
|
Octal | 8 |
21 x 50 = 1250 21 x 66 = 1626 30 x 41 = 1430 |
Duodécimal | 12 |
828 x B77 = 7B7828 850 x 969 = 685990 |
Hexadécimal | 16 |
21 x 90 = 1290 21 x EA = 1E2A 30 x 81 = 1830 |
20 |
1A x H5 = 15HA 21 x B0 = 12B0 21 x IC = 1I2C |
Propriétés
a+b = a*b (mod base-1)
En base dix c'est l'application de la classique 'preuve par neuf'
D'une manière générale, comme q >1 est congru à 1 modulo q-1, et donc que c*q^n = c (mod q-1) on en déduit qu'un entier est congru à la somme de ses chiffres et donc que :
Si, en base q, n = a*b est un nombre vampire et si a, b sont ses crocs, alors, a+b = a*b (mod q-1).
D'une manière générale, comme q >1 est congru à 1 modulo q-1, et donc que c*q^n = c (mod q-1) on en déduit qu'un entier est congru à la somme de ses chiffres et donc que :
Si, en base q, n = a*b est un nombre vampire et si a, b sont ses crocs, alors, a+b = a*b (mod q-1).
Base q^2
Si n = a*b est un nombre vampire de k=2*r chiffres dans la base q^2 et si a et b ont k chiffres dans la base q, alors n est aussi un nombre vampire de 2*k chiffres en base q.1275 x 9741 = 12419775, 3267 x 9801 = 32019867 (base 10)
Les regroupements de 2 chiffres en 2 chiffres de l'écriture d'un nombre dans une base q donnent les chiffres du même nombre dans la base q^2.
1275 x 9741 = 12419775 (12)(75) x (97)(41) = (12)(41)(97)(75)
Non seulement a+b=ab (mod q-1) mais aussi (mod q^2-1) et (mod q+1).
En fait il suffit de faire attention à ne pas avoir des 0 à gauche losqu'on passe de la base q^2 à la base q pour que le nombre soit vampire dans les deux bases, un contre-exemple est donné ci-dessous.
En fait il suffit de faire attention à ne pas avoir des 0 à gauche losqu'on passe de la base q^2 à la base q pour que le nombre soit vampire dans les deux bases, un contre-exemple est donné ci-dessous.
0801 x 1350 = 1081350
Carrés
Quels sont les vampires de la forme n=a*a=a^2 ?
Programme : carre.c
En base dix on a par exemple :
Programme : carre.c
En base dix on a par exemple :
72576^2 = 5267275776 3279015^2 = 10751939370225 99748631^2 = 9949789386374161
Nombre de vampires carrés
Nombre de carrés n=a2 en fonction de la base de numération et le nombre de chiffres | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Base \ Nb. chif. | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | |
base 2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 7 | 9 | 29 | 46 | 101 | 213 | |
3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 9 | 9 | 23 | 79 | 250 | |
4 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 9 | 45 | 153 | 475 | 1756 | |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | 34 | 203 | 749 | 3104 | |
6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 | 18 | 54 | 220 | 1018 | 4721 | |
7 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 9 | 33 | 143 | 865 | 4471 | |
8 | 0 | 0 | 3 | 2 | 11 | 12 | 33 | 165 | 777 | 4187 | |
9 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 5 | 14 | 75 | 508 | 3067 | |
10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 14 | 82 | 418 | 2795 |
Problèmes apparentés
De près ou de très loin...Doubles crocs (282972=800720209)
Quels sont les entiers n, non divisibles par la base, qui ont exactement les mêmes chiffres non nuls que leurs carrés n^2 ?
Programme : double.c
En base dix on a
Programme : double.c
En base dix on a
n n^2 1 1 28297 800720209 877501 770008005001 22517749 507049020027001 197486397 39000877000041609
Peut-on en trouver d'autres ?
En base 4 on en a une infinité :
En base 4 on en a une infinité :
133333333^2 = 33333333000000001 (2*4^k - 1)^2 = 4^(k+1)(4^k -1)+1