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Fractions égyptiennes

Les mathématiques égyptiennes

Ahmès

Papyrus Rhind

La principale source de connaissances que l'on a sur les mathématiques égyptiennes est un papyrus écrit 1650 ans environ avant J-C par le scribe Ahmès.
Déroulé, le papyrus mesure environ 6 mètres de long sur 30 cm de large.
Ce papyrus est la copie d'un document plus ancien de plusieurs siècles. Il a été acheté à Louxor en 1858 par l'égyptologue écossais Henry Rhind. Actuellement il est conservé au British Museum de Londres
Le papyrus Rhind nous donne des indications sur la multiplication, la division et l'utilisation des fractions.
1/5 a pour double 1/3 + 1/15
1/7   1/4 + 1/28
1/9   1/6 + 1/18
1/15   1/10 + 1/30
Les égyptiens utilisaient uniquement,à l'exception de la fraction 2/3, les fractions de la forme 1/n et les sommes 1/a+1/b+... de deux ou de plusieurs fractions de dénominateurs a, b, ... tous différents différents.
Les doubles 2/n = 1/n+1/n ou les multiples 1/n+1/n+1/n+... étaient systématiquement remplacés par des sommes de dénominateurs différents.
Le papyrus d'Ahmès contient des tables de décompositions des premières fractions 1/n et 2/n avec parfois des erreurs comme dans 1/11 = 1/(12)+1/33+1/66 de valeur exacte 1/11=1/(22)+1/33+1/66.

Calculs des doubles des fractions égyptiennes

On peut comparer la table du papyrus d'Ahmès à l'algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester pour lequel 2/(2p+1) = 1/(p+1) + 1/(p(2p+1))
Essayer aussi la petite application ci-dessous qui donne selon le cas une ou plusieurs solutions.

Doubles d'inverses

L'algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester

Son histoire

Dans son livre Liber abaci paru en 1202, Léonard de Pise (Fibonacci) donne sans démonstration un algorithme qui permet d'obtenir une décomposition de toute fraction en une somme de fractions égyptiennes.

La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester qui a démontré que l'algorithme donne bien une décomposition en un nombre fini de fractions.

La démonstration est très simple : En calculant a/b = 1/n + ... par cet algorithme (voir ci-dessous), on a soit l'arrêt avec 1/n=a/b, soit 1/n < a/b <1/(n+1) et on calcule a/b-1/n= (na-b)/(nb)

Méthode
Un algorithme très simple.
  On veut décomposer la fraction a/b < 1 que l'on note a(0)/b(0),
  
  Pour k = 0, 1, ...
    Soit n(k) le plus petit entier tel que
          1/n(k) soit inférieur ou égal à a(k)/b(k)
    on prendra à l'étape suivante a(k+1)/b(k+1) = a(k)/b(k) - 1/n(k)
    c.-à-d. a(k+1) = a(k)*n(k) - b(k)
           b(k+1) = b(k) * n(k);

  L'algorithme débute en prenant k=0 et s'arrête lorsque a(k) est nul.
  a/b = 1/n(0) + 1/n(1) + ...

  Preuve (Simplifions la notation dans la preuve en omettant d'écrire la variable k) :
  ------
  On a 1/n <= a/b < 1/(n-1) et à l'étape suivante, s'il doit y en avoir une, 
  a/b est remplacé par (an-b)/(bn).
  Le numérateur an-b  est strictement inférieur au précédent 'a' car leur différence 
  a - (an-b) = a-an+b est strictement positive, en effet l'inégalité stricte a/b < 1/(n-1) 
  donne a(n-1)<b c'est-à-dire 0< b-an+a.

Exemples

Grands entiers souvent nécessaires

Un programme fractions égyptiennes de Fibonacci (fef.bc) écrit dans le langage bc et utilisant des grands entiers.
aven:~/egy\> echo "5 121"|bc fef.bc
5/121= + 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/15276127956420\
93418846225
L'algorithme donne parfois des solutions curieuses, (comparer cette solution à 5/121= 1/363+1/121+1/33), les entiers obtenus sont vite impressionnants.

Exemples simples

Algorithme glouton
Fractions
           


Le bouton [Variante] permet de décomposer les fractions 1/n autrement qu'en elles-mêmes.
1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))

Exemples : Doubles,  Triples,  Quadruples,   Quintuples (Comparer 5/31= 1/248+1/31+1/8 à la solution obtenue).

D'autres solutions

Recherche exhaustive
Fraction
Plus grand dénominateur
Nombre maximum de termes
  
Dénominateurs pairs     impairs     ou de parités quelconques

Exemples :
Des décompositions particulières où l'on trouve deux quadruplets dont les sommes sont égales ainsi que les sommes de leurs inverses :
1/77+1/33+1/21+1/11 = 1/55+1/45+1/33+1/9 = 2/11  et  77+33+21+11 = 55+45+33+9  = 142 
1/165+1/55+1/15+1/11 = 1/99+1/77+1/63+1/7 = 2/11 et 165+55+15+11 = 99+77+63+17 = 246
Plusieurs obervations semblables dans cet autre exemple.
Ce programme C permet des calculs un peu plus rapides : optpair.c

Somme égale à 1

Nombres égyptiens

Définition :
Les nombres entiers naturels 'égyptiens' sont les sommes des dénominateurs des décompositions de 1 en sommes de fractions égyptiennes.
Ils sont dits strictement égyptiens si les fractions égyptiennes sont toutes différentes.

La suite A052428 est celle des nombres égyptiens stricts, son complément est A051882
La suite A028229 donne les entiers qui ne sont pas égyptiens.

Exemples :
1 = 1/2+1/2 mais comme 4=1+3=2+2 et qu'aucun des entiers 1/4 et 1/1+1/3 ne vaut 1, on peut dire que 4 est un nombre égyptien et qu'il n'est pas strictement égyptien.

1 = 1/231 + 1/210 + 1/15 + 1/11 + 1/3 + 1/2 donc 472 = 231 + 210 + 15 + 11 + 3 + 2 est un nombre entier égyptien strict.
Exemple montrant que 31, 24, 11 et 1 sont des nombres égyptiens stricts. Cet autre exemple en donne un peu plus.

Inverses d'impairs

Les décompositions de 1 par le plus petit nombre possible de fractions égyptiennes de dénominateurs impairs a été trouvée en 1976 par S. Yamashita.
Le nombre de fractions est 9 et les solutions sont au nombre de 5,
en voici deux :
1 = 1/231 + 1/45 + 1/35 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3
1 = 1/385 + 1/45 + 1/33 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3
On indique ci-dessous comment trouver ces deux solutions et quelques autres.
en sachant que les neuf solutions contiennent en commun les six termes 1/15 1/11 1/9 1/7 1/5 1/3 on peut en déduire la somme des trois termes restants qui est donc (cliquer) 573/10395.
Il suffit alors d'ajouter 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 aux trois solutions que l'on vient de calculer en cliquant pour obtenir trois décompositions de 1 en une somme de neuf fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.
Pour obtenir d'autres solutions on peut tenter d'augmenter le dénominateur maximum. On peut aussi choisir de décomposer 26/3465 complément à 1 de 1/21 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3.

Problèmes d'héritages

Exemple

Énoncé

À son décès, un fermier lègue par testament ses 7 moutons à ses trois enfants.
Selon sa volonté, la moitié des animaux doit aller à l'aîné, le quart au cadet et le huitième au benjamin.
Comment réaliser ce partage ?

Solution

En remarquant que 7/8= 1/8+1/4+1/2 = 1/8 + 2/8 + 4/8, un ami de la famille trouve une solution, il prête un de ses moutons. Le nombre des motons est maintenant de 8, il est divisible par 2, 4 et 8. On donne donc 4 moutons à l'aîné, 2 au cadet et 1 au dernierenfant. Comme il reste un mouton car 4+3+1=7, on rend ce mouton à l'ami.
Remarque : Le partage est proportionnel aux trois nombres 1, 2 et 4. Les parts ne sont même pas proportionnelles à 1/8, 1/4 et 1/2 mais bien à 1/7, 2/7 et 4/7 de l'héritage. Un énoncé qui correspond à la solution consiste à dire que la part du cadet est la moitié de celle de l'aîné et que celle du benjamin est aussi la moitié de celle du cadet.

Généralisation

Calculs

Problème antique d'héritage
Nombre d'enfants    Animaux prêtés    héritage maximum   

Explications

On peut construire d'autres problèmes de ce type avec un nombre d'enfants différent de trois et un nombre de moutons prêtés différent de un.

Inscrivez dans les cases ci-dessus les nombres d'enfants, de moutons prêtés et l'héritage mamimum. Vous obtiendrez toutes les solutions jusqu'à ce maximum.

Les parts des enfants étant proportionnelles à a, b, ...c, l'équation diophantienne (équation en en nombres entiers) 1/a+1/b+...1/c = n/(n+k) donne les solutions.
Lorsque le nombre n d'enfants et celui k d'animaux prêtés sont donnés, le nombre de possibilités est fini. Ainsi pour 3 enfants et 1 animal prêté, les solutions sont au nombre de 7.
Autres exemples : 1) Deux enfants   2) Prêt de deux moutons   3) Cinq héritiers (inutile de cliquer sur [solutions])

Liens

James Joseph Sylvester (1814 1897)   MacTutor History of Mathematics Mathematics in Egyptian Papyri The Rhind papyrus
Egyptian Fractions       Algorithms for Egyptian fractions
Egyptian Mathematics  G. Donald Allen
(Approximation, Conflict Resolution, Based on the Binary Number System, Continued Fraction, Reverse Greedy, Brute Force, Small Numerators) Methods. - David Eppstein, ICS, UC Irvine
Egyptian fractions   Index entries for sequences related to Egyptian fractions at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Eric W. Weisstein From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
"Egyptian Number" http://mathworld.wolfram.com/EgyptianNumber.html
" Rhind Papyrus" http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html
Fractions Égyptiennes Projet maths en jeans. Camille Laurent-Gengoux Université de Poitiers
Numération égyptienne  
Encyclopédie Thotweb   Renaud de Spens. Apprendre les hiéroglyphes est maintenant à la portée de tous.
Problem 35. More wrong turns...   Problems & Puzzles: Problems - The prime puzzles & problems connection by Carlos Rivera.
Kevin's Math Page   Egyptian Fractions Kevin L. Gong examines ways of computing fractions as the sum of unit fractions, minimizing number of terms and/or largest denominator.
















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