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Polynômes cyclotomiques de Fp[X]

Notations et brefs rappels de propriétés

$p$ désigne un nombre premier $p\in\{2, 3, 5, 7, \cdots\}$.
$n$ est un entier naturel non nul, $n\in \{1, 2, 3, 4, \cdots\}$, $q = p^n$ est une puissance de $p$.

$\displaystyle ({\bbmath Z}/_{a\bbmath Z}, +, \times)$ est l'anneau des classes d'entiers modulo $a\geq 2$. Lorsque $a$ est un nombre premier $a=p$, l'anneau $\bbmath Z/_{p \bbmath Z}$ est un corps.

$F_p$ est le corps fini à $p$ éléments $({\bbmath Z}/_{p\bbmath Z}, +, \times)$ des entiers modulo le nombre premier $p$,
$Z[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients entiers, $F_p[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients dans $F_p$,
$F_q = F_{p^n}$ est le corps fini à $p^n$ éléments, (à un isomorphisme près car tous ces corps à $p^n$ éléments sont isomorphes).
$F_q^\star$ est le groupe multiplicatif du corps $F_q$, il a $q-1 = p^n -1 $ éléments et est cyclique. Pour tout $a\in F_q^\star$, $\displaystyle a^q = a$.

Un élément primitif $\theta$ de $F_q^\star$ est un élément tel que pour tout diviseur strict $d$ de $q-1$, $\theta^d \not= 1$.
$\Phi_{r}(x)$ est le r-ième polynôme cyclotomique, $\displaystyle\Phi_r(x) = (x^r-1)/ {\rm pgcd}\left(x^r - 1, \prod_{d|r ; 1\le d < r}\ (x^d-1)\right)$. On a aussi $\displaystyle x^r - 1 = \prod_{d|r} \Phi_{r}(d)$. Pour tout $p$ premier, $\displaystyle\Phi_p(x)=1+x+\cdots+x^{p-1}$.
$\phi(r)$ est le r-ième nombre cyclotomique, il est le degré du polynôme $\displaystyle\Phi_r(x)$. Pour tout $p$ premier, $\phi(p)= p$.
Le groupe multiplicatif $F_q^\star$ est cyclique, de cardinal $q-1$, le nombre d'éléments générateurs est $\phi(q-1)$ générateurs.

Calcul des polynômes cyclotomiques

L'application détermine le polynôme cyclotomique $\Phi_r(x)$ et aussi les polynômes cyclotomiques $\Phi_d(x)$ de tous les diviseurs $d$ de $r$, dans l'anneau $F_p[X]$ des polynômes à une variable sur le corps $F_p$.

Indiquez les valeurs du nombre premier $p$ et de l'entier $r \ge 1$, (évitez que $r$ ne soit trop grand). Choisissez le mode d'affichage

$p=$   $r=$              

















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J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2012




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