FAQ - Calculs de mensualités (fixes) de remboursement d'emprunts

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(et aussi http://perso.wanadoo.fr/jean-paul.davalan/calc/pret/index.html)
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Question :
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Avec un capital C et un taux mensuel a-1 vous écrivez que les mensualités sont 
M = C × a^n × (a-1)/(a^n - 1)
 
Pourquoi remultiplier C × (a-1) par a^n / (a^n - 1) ?

Réponse :
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Il ne s'agit pas simplement de payer les intérêts à la fin du mois et qui seraient C*(a-1).
Avec une telle mensualité vous restez à devoir éternellement tout le capital C.
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Le problème est plus complexe : 
chaque mois on rembourse les intérêts du capital et aussi une partie du capital (qui 
n'est certainement plus le  capital initial C après plusieurs mois de remboursement).
Le calcul a été mené pour que les mensualités soient identiques de la 1ère à la dernière.
On peut, pour aider la compréhension, dire que chaque mensualité est composée de deux parties,
  - le remboursement des intérêts (qui iront en décroissant si le capital diminue)
  - le remboursement du capital emprunté (part qui ira en croissant cf. ci-dessus)
et donc que M est sûrement un peu supérieure aux seuls intérêts C × (a-1).

Vous pourrez retrouver les formules en considérant un capital initial C(0) = C
puis un capital variable C(1), C(2) ... C(n) diminuant au fil des mois.
Lorsque le capital est C(i) le i-ième mois, on a C(i+1) =  C(i) * a - M  où M est fixe.
L'ultime valeur C(n) devant être nulle (la somme due est à ce moment totalement remboursée).

C(0) = C, C(i+1) = a*C(i) - M et C(n) = 0 permettent de déterminer M en fonction de C, a et n.

Utiliser les propriétés des suites géométriques pour mener les calculs et pour retrouver 
M = C × a^n × (a-1)/(a^n - 1).
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(Sur l'autre page les notations peuvent être différente, en particulier le coefficient
multiplicateur est c au lieu de a).
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S'il vous est arrivé ou s'il est arrivé à vos parents ou à des amis de contracter un emprunt 
auprès d'une banque, consultez le tableau de remboursement de prêts où vous trouverez toute 
l'évolution du capital et des intérêts pendant la durée du prêt. 
Vérifiez que les calculs effectués sur le site correspondent bien aux calculs de la banque.

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